19.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ: ОДНО МАКРОСООТНОШЕНИЕ

Пусть заданы микросоотношения для каждого из входящих в группу потребителей или товаров или и для тех и других одновременно. С помощью укрупнения требуется получить одно макроуравнение. Все соотношения — линейные; предполагается отсутствие запаздываний во времени или укрупнения во времени.
Пусть нижний индекс і обозначает одно микросоотношение, так что 2 означает требуемое укрупнение микросоотношений. Вообще 2

і г

означает двойное суммирование, например суммирование по m товарам и п потребителям. Формулировка задачи зависит от того, каким образом микропеременные укрупняются в макропеременные, входящие в макросооткошения, и от метода вычисления соответствующих макропараметров. Пример (в) из текста раздела 19.6 иллюстрирует это положение и подсказывает способ записи задачи.

Составим микросоотношения для различных і:

У і = iallXll + ia 21Х21 + • • • + iamlXml + К

+ ia!2xl2 + ia 22x22 + • • • + iam2Xm2

-I- . . .

+ ialnxln + ia2nX2n + • • • "Г iamnxmn>

TO ЄСТЬ

m n

у І = 2 S iar$xrS + К (І)

r—1 s= 1

Имеется m X n микропеременных (яГ8), и любое из них в общем случае входит в каждое из микросоотношений. Если не считать постоянное слагаемое /С|, то в каждое микросоотношение входит соответствующий набор mXn микропараметров (-ars). Если какая-либо микропеременная не появляется в микросоотношении, то это значит, что соответствующий микропараметр принят равным нулю; однако в общем случае должны быть в наличии все члены.

Целью укрупнения является получение одного макросоотношения:

171

у = а1х1 + а&2+ ... 4-amxm + k= ^ агхг + к. (2)

Г= 1

Суммирование производится следующим образом. Во-первых, просуммируем

у—^уі по всем микросоотношениям; в общем случае это суммирование

і

п

является двойным. Затем определим макропеременные яг= 2 xrs Для каж-

s=l

дого г (г ~ 1, 2, . .., т); это суммирование —однократное, или суммирование по столбцу вниз в каждом микросоотношении (1).

Важнейший момент —это выявление способа получения т макропараметров аг в (2) на основе комплекса макропараметров iars, входящих в (1). Однако установлены возможности существенного упрощения этого комплекса. В получаемых результатах {ars никогда не появляется самостоятельно, обособленно, а лишь в виде суммы 2 iarS' получаемой путем выде-

i

ления микропараметра, который находится в одной и той же «клетке» каждого из микросоотношений, и последующего суммирования по всем микросоотношениям. Следовательно, можно определить производные микропараметры, по одному для каждого микропеременного xrs:

ars = ljiars (r = l, 2, 5=1, 2, ...,/?).

г

Макропараметр аг (коэффициент при хг) можно сопоставить с простой совокупностью соответственных производных микропараметров, образующей вектор-столбец:

аг = Ksl =

—агг) _

Каждое микросоотношение (1) дает один столбец расширенной га-строчной матрицы микропараметров: 2 Г1 2аг2

1 Г2

[iars\ = При построчном суммировании элементов этой матрицы получаем вектор аг. Желательное свойство операции укрупнения состоит в том, чтобы значение макропараметра аг зависело исключительно от значений соответственных микропараметров, суммированных в аг. Это —желательное, но, как мы увидим далее, не всегда реализуемое свойство.

Чтобы получить из (1) уравнение (2) первым методом, просуммируем все уравнения (1): У = 2 Уі = 2 2 Vrs + 2 h-

і s=i і

Это эквивалентно формуле:

(2), если только укрупнение проводится согласно (3)

где аг:

п JLJ ars,

•=2 аг и макропараметры в этом случае равны: 1 vi

и

ar = ar = — Ziar Параметры уравнений (3) и (4) известны для каждого г (г = 1, 2, Веса микропеременных, позволяющие получить макроперемениые хТ в (3), пропорциональны соответственным (производным) микропараметрам, являющимся элементами вектора аг. Конечно; взвешивание варьирует для различных параметров; имеется столько же разных систем взвешивания, сколько имеется макропараметров в макросоотношении (2). Макропараметр аг, даваемый уравнением (4), имеет требуемую форму; он получается из соот- ветственных (производных) микропараметров аг и оказывается простой средней арифметической п элементов вектора аг.

При методе (И) приходится пользоваться простым укрупнением или же любой формой укрупнения.по неизменным весам. Если заранее не выбрана специфическая форма укрупнения (3), то макросоотношение (2) удается получить только путем статистического подбора во времени. Все микропеременные представляют собой заданные временнйе ряды, и в общем случае результат зависит от характера их изменения во времени. Пользоваться при этом нужно уже описанными приемами. Тейл [8] математически доказал правильность этого метода дая«е при более широкой, чем здесь, постановке вопроса.

Построим уравнения регрессии: (5>

: + 2^rsX2 + • • • + mArsXm ~Ь &rs ~t~ ur

(r= 1, 2, ..m\ s = l, 2, ..ri), где

n

2 <Л. = і (e-r) и 0

S=1 8=1

В уравнении (5) все коэффициенты (А и К) зависят от характера исходных временных рядов. Статистически подобранные значения макропараметров уравнения (2) равны: т п

: 2 2 aQ*rAQs (г= 1, 2, ..., т),

(6>

Q=1S=1

т п

S arsKrs.

і r=\ s—1 Этот результат мало что добавляет к результатам, полученным в более простых случаях (см. 19.5) за исключением того, что в большей степени учитывается разнообразие перекрестных влияний. Можно снова проверить, обладают ли найденные значения макропараметров в (6) желательными свойствами. Оказывается, что эти условия не соблюдаются в двух отношениях: во-первых, желательно, чтобы значения аг определялись только соответственными микропараметрами а,*; на самом же деле они обычно определяются всеми микропараметрами, одинаково соответственными и несоответственными. Во-вторых, значение аг зависит и от конкретного характера временного ряда, использованного для исчисления; об этом свидетельствует наличие в выражении для аг коэффициентов регрессии А, получаемых из уравнения (5).

Этим же объясняется и то обстоятельство, что прогнозы на о.снове осе- редненного макросоотношения (2) обычно противоречат результатам, получаемым на основе микросоотношений (1). Имеются особые случаи, например* особый характер изменения переменных во времени, при которых противоречий можно избежать. Однако полностью избежать любых противоречий удается в том и только в том случае, когда агз = аг (по всем s) для каждого г = = 1,2, ..., т. Это равносильно взвешиванию совокупностей по формуле (3), то есть способу укрупнения по методу (I), который позволяет получить точное макросоотношение заданной формы. Безупречное укрупнение—это взвешивание по формуле (3). Оно обладает тем двояким свойством, что дает точное и требуемое макросоотношение, а также что оно является единственным видом взвешивания по фиксированным весам, при котором удается избежать всех противоречий в макроэкономической модели.

Задачи и упражнения

1. Показать, что макросоотношения (1) могут быть скорректированы таким образом, что разные микропеременные хТ будут представлять собой суммы различного числа

(гаг) микропеременных и что они при этом представляются в следующем виде:

т пг

Уі= 2 2 i«rs + *i- r= 1 s=l

Показать также, что уравнение (1) в тексте раздела по-прежнему остается характерным для общего случая, при га=max пг, причем столбцы дополняются фиктивными или псевдопеременными (имеющими нулевые коэффициенты).

2. Показать, что примеры (а) и (б) из текста раздела 19.6 представляют собой частные случаи приведенной здесь общей формулы. Какими будут в этих примерах значения нижнего индекса г?

3; Группа т пекарей (r= 1, 2,...., т) поставляет хлеб га (s = 1, 2,..., га) потребителям; г-й пекарь устанавливает цену хлеба, равную рТ\ доход 5-го потребителя равен ps. Показать, каким образом можно укрупнить микросоотношения спроса на хлеб:

m

2/rS=arsPs+ 2 rsfrgPQ + ^rS»

Q—1

чтобы получить совокупный спрос на хлеб: y=a\i-[-bp-\-k, где у= 2 2

Г S

P=2M-S> Сравнить с примером (в) из текста раздела 19.6.

s Q 4.

Показать, что пример (в) из текста раздела 19.6 и предыдущее упражнение суть частные случаи рассмотренного выше общего случая, для чего микросоотношения примера (в) записать в виде:^

Уі = іЧ\*>і+ФіРі-\-кі (i = l,2, ...,mxn) +

+ ФтРш•

Показать, что только один из коэффициентов jas(s = l, 2,..., га) отличен от нуля. Что это за коэффициент и каков его смысл? 5.

Записать пример (в) из текста раздела 19.6 таким образом, как это сделано в предыдущем упражнении, применить простое укрупнение и воспользоваться уравнениями (5) и (6) для определения макропараметров уравнения y — a\L + bp + к. Исследовать зависимость совокупной предельной склонности к потреблению от индивидуальных эластич- ностей спроса от цен. 6.

В предыдущем упражнении ввести различие между товарами, соответственно являющимися предметами роскоши и предметами первой необходимости. Если r-й товар является предметом роскоши, принять /crs<0 и считать также отрицательной постоянную в уравнении регрессии для рТ (поскольку в периоды промышленного подъема рг, вероятно, быстро возрастет). Показать, что при определении макропараметра к предметы роскоши, вероятно, должны иметь повышенный вес, и что вся группа таких товаров в целом тоже, вероятно, будет обладать свойствами «предмета роскоши».!

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 19.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ: ОДНО МАКРОСООТНОШЕНИЕ:

  1. 3. Начисление заработной платы, в случае если учредитель и директор - одно лицо
  2. 14.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИГРЫ ДВУХ^УЧАСТНИКОВ НУЛЕВОЙ СУММОЙ
  3. 19.4. ПРОТИВОРЕЧИЯ МЕЖДУ МИКРО- И МАКРОСООТНОШЕНИЯМИ
  4. «43. О том, что таинства преподаются одно чрез другое и одно чрез другое совершаются
  5. В. «ОДНО» И «МНОГОЕ»
  6. с) «Одно» (Eins)
  7. Ь) Единое «одно» притяжения
  8. Еще одно пополнение пантеона богатства
  9. Одно наблюдение над структурой нашего общества
  10. Культура как одно из средств социального приспособления
  11. 70. ФИЛОСОФСКАЯ АНТРОПОЛОГИЯ КАК ОДНО ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ В ФИЛОСОФИИ XX в.
  12. «Двое делают одно и то же дело, а вещи получаются разные»