Логические статьи из домашнего архива. Математическая бесконечность и метаматематика


В моих домашних бумагах сохранились разные варианты трех больших статей, написанных Ю. А. для ФЭ. Как сами статьи, так и редакционная их история стоит того, чтобы о них рассказать.
Здесь я буду говорить о статье «Математическая бесконечность».
В первоначальном варианте она занимала 34 страницы[33]. Я подверг статью капитальной редактуре, сокращая целые гсуски текста, частично перекомпоновал его; вместе с тем по моей просьбе автор сделал некоторые дополнения. 25 января 1964 года на тексте Ю. А. я поставил свою визу — «Отредактировал» и расписался. В результате получился материал на 24 страницах. Этот текст подвергся дальнейшей редактуре. Раскрыв теперь статью, напечатанную в третьем томе ФЭ, я обнаруживаю, что она подверглась дальнейшему сокращению.
Просматривая сейчас статью «Математическая бесконечность», я вижу, что для того времени это был достойный текст. В дефиниции говорилось, что математическая бесконечность является общим названием для различных реализаций идеи бесконечности в математике; «признавая диалектический характер бесконечности, математика стремится выделить в качестве ее экспликата формально непротиворечивые понятия, пригодные для строгого дедуктивного (формально-логического) построения матема-

тических и логико-математических теорий»[34] Следует заметить, что процитированной фразы не было в первоначальных вариантах статьи — по- видимому, они возникли в результате совместной работы автора и редактора — в философском издании следовало сразу придавать статье стиль, соответствующей требованиям издания. Но вот концовка статьи —
.. .для математики, всегда имеющей в виду понятие математической бесконечности, характерно стремление освободиться от его явного использования. Математику, часто называемую «наукой о бесконечности», с не меньшим основанием можно определить как науку о способах обходиться без понятия бесконечности. В этом, в частности, естественно усматривать ее диалектический характер[35] —
гастевская. А в самой статье мы видим тесное переплетение историко-математических и историко-логических вопросов с вопросами теоретическими. В статье было показано, как, преодолевая постоянно возникавшие теоретико-познавательные трудности (начиная с апорий Зенона и идеи математической иррациональности), математическая и логико-философская мысль пришла к идее континуума и теории множеств, вначале «наивной», а потом аксиоматической, к арифметизации анализа. Получили освещение позиции логицизма, интуиционизма, математического конструктивизма, а также «ультраинтуиционизма» (правда, без ссылки на А.
С. Есе- нина-Вольпина, автора соответствующей философско-математической концепции), и в рамках краткой характеристики этих направлений нашли естественное место и проблема непротиворечивости (математических и логических теорий), и аксиомы бесконечности (Рассел) и выбора (Церме- ло), и теория типов логических объектов, и «программа Гильберта», и нестандартные модели в арифметике и теории множеств. В статье, в частности, говорилось, что
.. .казавшаяся очевидной равносильность (эквивалентность) используемого в аксиоматической теории множеств определения бесконечного множества и представления о бесконечном множестве как «неконечном» связана, как выяснилось, с использованием аксиомы выбора. Это привело к имеющим важное философское значение исследованиям о различных по силе определениях бесконечного множества.
Характеризуя ультраинтуиционизм, автор писал, что с позиций этого направления «гипотеза потенциальной осуществимости» — как известно, противопоставляемой гипотезе (абстракции) актуальной бесконечности — распадается на ряд содержательно неэквивалентных допущений об осуществимости, а также о том, что «дальнейшее построение ультраинтуиционизма связано с анализом абстракции отождествления».
Конечно, данная статья отражала уровень философского видения проблемы математической бесконечности в 60-е годы прошлого века. Концепция ультраинтуиционизма в последующий период получила дальнейшее развитие в работах ее автора; выяснилось также, что альтернатива бесконечного множества — множество конечное отнюдь не однозначно, допускает уточнение «конечностей» разных уровней[36] Тем не менее, статья Ю. А. имеет значение как факт динамики отечественной философско-математической мысли, и я рад тому, что в моем архиве находится полный исходный 34-страничный ее текст. Читатель может найти его в Приложении ко второму изданию книги Ю. А. Гастева, указанному в примечании 1.
В упомянутом Приложении приведена и другая статья Ю. А. для ФЭ — «Метаматематика». Эта статья была включена в словник издания[37] дополнительно, но так как издание распухало до недопустимых размеров, она не вошла в третий том. Я пытался сохранить краткую отсылочную статью о метаматематике (тринадцать строк), но и этого сделано не было, и на с. 400 соответствующего тома мы находим отсылку: «Метаматематика — см. Метатеория».
В моем архиве находится исходный текст этой статьи, написанный Ю. А. от руки и занимающий 28 страниц, а также ее отредактированный стандартно отпечатанный вариант (29 с.), в котором отсутствуют некоторые «формульные» части текста Гастева.
<< | >>
Источник: Бирюков Борис Владимирович. Трудные времена философии. Юрий Алексеевич Гастев: Философско-логические работы и «диссидентская» деятельность. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ»,2010. — 160 с.. 2010

Еще по теме Логические статьи из домашнего архива. Математическая бесконечность и метаматематика:

  1. Примечание 1 Определенность понятия математического бесконечного
  2. 1. Бесконечно великое и бесконечно малое Границы разума
  3. «Местнический архив» и описи Разрядного архива 1626,1649-1653,1668 гг.
  4. Родовые архивы местников и их использование в тяжбах и для пополнения Разрядного архива
  5. VIII. С ЛОГИЧЕСКОЕ СОВЕРШЕНСТВО ЗНАНИЯ ПО КАЧЕСТВУ.— ЯСНОСТЬ.— ПОНЯТИЕ ПРИЗНАКА ВООБЩЕ.— РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПРИЗНАКОВ.—ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ СУЩНОСТИ ВЕЩИ.—РАЗЛИЧИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ И РЕАЛЬНОЙ СУЩНОСТИ.— ОТЧЕТЛИВОСТЬ КАК ВЫСШАЯ СТЕПЕНЬ ЯСНОСТИ.— ЭСТЕТИЧЕСКАЯ И ЛОГИЧЕСКАЯ ОТЧЕТЛИВОСТЬ.—РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ АНАЛИТИЧЕСКОЮ И СИНТЕТИЧЕСКОЮ ОТЧЕТЛИВОСТЬЮ
  6. «Опись Царского архива» и «местнический архив»
  7. § 15. Условия возникновения высших и низших понятий:логическая абстракция и логическое ограничение
  8. 3. Программа логического позитивизма (логического эмпиризма)
  9. VII. В. ЛОГИЧЕСКОЕ СОВЕРШЕНСТВО ЗНАНИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ.—ИСТИНА.—МАТЕРИАЛЬНАЯ И ФОРМАЛЬНАЯ, ИЛИ ЛО-ГИЧЕСКАЯ ИСТИНА.— КРИТЕРИИ ЛОГИЧЕСКОЙ ИСТИНЫ.— ЛОЖНОСТЬ И ОШИБКА.— ВИДИМОСТЬ КАК ИСТОЧНИК ОШИБКИ.—СРЕДСТВО ДЛЯ ИЗБЕЖАНИЯ ОШИБОК
  10. VI. ЧАСТНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СОВЕРШЕНСТВА ЗНАНИЯ А. ЛОГИЧЕСКОЕ СОВЕРШЕНСТВО ЗНАНИЯ ПО КОЛИЧЕСТВУ.— ВЕЛИЧИНА.—ЭКСТЕНСИВНАЯ И ИНТЕНСИВНАЯ ВЕЛИЧИНА.— ШИРОТА И ОСНОВАТЕЛЬНОСТЬ ИЛИ ВАЖНОСТЬ И ПЛОДО-ТВОРНОСТЬ ЗНАНИЯ.— ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТА НАШИХ ПОЗНАНИЙ
  11. Глава 16, ДОМАШНЯЯ УЧЕБНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ
  12. § 2. Право на исполнение (статьи 1313 - 1321) Исполнитель и исполнение (статьи 1313, 1314)
  13. Время на домашние дела
  14. С. БЕСКОНЕЧНОСТЬ
  15. Домашние приемы
  16. ОТ БОЛЬШОГО ЭКРАНА — К ДОМАШНЕМУ
  17. Глава 8 ДОМАШНЕЕ БЛАГОУСТРОЙСТВО 1
  18. Предметы домашнего обихода и широкого потребления