Глава 4. Множества и отношения

1. Нашей ближайшей задачей будет теперь изучить строение предложений, без чего невозможно понять, как устроены рассуждения. Но сначала нам придется познакомиться с некоторыми математическими понятиями, принадлежащими, по сути дела, также и к основным понятиям логики.

Первым из них будет понятие множества.

Множеством в математике называют любую совокупность любых «предметов», конкретная природа и свойства которых могут быть какими угодно. Можно говорить, например, о множестве всех коров в некотором стаде; о множестве всех целых положительных чисел; о множестве всех букв русского алфавита; о множестве рек, впадающих в Волгу; о множестве, состоящем из числа 8, Александра Македонского, луны и слова «множество». «Предметы», из которых состоит множество, называются его элементами; о них говорят, что они принадлежат данному множеству (или входят в него). Если множество и его элементы обозначены какими-либо символами, — например, буквами, — то вместо слова «принадлежит» на письме часто используется значок е; таким образом, а е A означает то же, что «а принадлежит A». Вместо «а принадлежит A» говорят также «A содержит а». Таким образом, предложения «а есть элемент A», «а принадлежит A» и «A содержит а» синонимичны, т. е. означают одно и то же, и то же самое означает символическая запись а е A. Выражения «принадлежит» и «входит в» — точные синонимы.

Понятие множества лежит фактически в основе всей математики; естественно поэтому, что мы его не определяем, а только поясняем его смысл примерами и «приблизительным переводом» на естественный язык. (Вспомним то, что было сказано о первоначальных понятиях

наук в главе 2.) Неопределяемым является и понятие «принадлежит». Но понятия «элемент» и «содержит» определяются: их определения состоят в указании, что предложения «а есть элемент А» и «А содержит а» означают то же, что «а принадлежит А».

Вместо слов «не принадлежит» часто пользуются значком A

BA часть, множества B, или, иначе, что А содержится в B, или, наконец, BA

ны), а для краткости часто пишут А С B или B D А. Следует обратить внимание, что слово «содержит» употребляется в двух разных смыслах: «содержит в качестве элемента» и «содержит в качестве подмножества». На самом деле то и другое «содержит» — разные слова (омонимы). Если, например, А означает множество всех студентов некоторого B

C

ского факультета и D — множество всех студентов первого курса этого факультета, то, очевидно, B С А, C С А, D С CD С А. Кроме того,

А С А B С B C С C D С D по точному смыслу определения каждое множество является частью (подмножеством) самого себя: ведь утверждение «каждый элемент мно- А А А

Говорят, что множество А равно множеству B, или что множества А B А B

говоря, если все элементы А являются элементами B и все элементы B — элементами А, т. е., если А С B и B С А.

Поскольку множества, кроме своих элементов, никакой другой «сущности» не имеют, мы должны, установив, что два множества равны, считать, что это на самом деле не два разных множества, а одно и то же. Вместо «А равно B» пишут для краткости А = B, вместо «А не равно B» пишут А = B.

Ясно, что для любых множеств А, B, C: а) А = А; б) если А = B, то B = А А = B B = C А = C

Если A С В ж A = В, говорят, что множество A есть истинное (или собственное) подмножество множества В —иначе, истинная (или собственная) часть множества В — и пишут A с В или В D A. Так, в приведенном выше примере В, C и D — истинные части множества A и D — истинная часть множества C (при условии, что университет не состоит из одного исторического или филологического факультета и филологический факультет не состоит из одного первого курса).

3. Множества можно задавать различными способами. Самый простой из них — перечислить все элементы множества, т.е. назвать их один за другим («множество, состоящее из чисел 7, —3, 5, 18, 3/4», «множество, состоящее из города Торжка и планет Марса и Юпитера» и т.п.) Это далеко не всегда можно сделать; бывает, однако, что хотя в буквальном смысле перечислить все элементы множества нельзя, их можно называть один за другим так, что любой элемент был бы когда- нибудь назван, если бы мы располагали неограниченным временем. Например: -множество, состоящее из чисел 0, 2, 4, 6 и т.д.» (начиная с нуля, каждый раз прибавляем к очередному числу двойку), «множество, состоящее из чисел 1, 4, 9, 16 и т.д.» (начиная с единицы, каждый раз берем квадрат следующего по порядку натурального числа). В этом случае тоже говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Для обозначения множества, заданного «настоящим» перечислением его элементов, пользуются фигурными скобками, внутри которых пишутся обозначения всех элементов множества, разделенные запятыми: например, {2, 7, —2,1/2} означает множество, состоящее из чисел 2, 7, —2 и 1/2 (это тожество можно обозначить также {7, —2, 2,1/2}, {1/2, —2, 2, 7}

утомительно и в то же время интуитивно ясно, как их перечислить, то такое обозначение обычно сокращают, заменяя знаки некоторых элементов многоточием; например, {1, 2, 3,..., 100} означает множество всех целых чисел от 1 до 100 включительно. Подобными обозначениями пользуются и для множеств, заданных «бесконечным перечислением»: {0, 2,4, 6,...} {1, 4, 9,16,...} и т.п.

Другой обычный способ задать множество — указать какое-либо характеристическое свойство его элементов, т.е. свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они («множество всех четных чисел», «множество всех целых положительных чисел, меньших семи», «множество королей Франции, вступивших на престол

после 1600 г.»). Для множеств, заданных таким образом, также есть удобный способ обозначения, который легко понять из примеров:

{x | x — четное чиело } означает множество всех четных чисел; то же самое означает {2n | n = 0, ±1, ±2,... };

{x I x — целое число, x < -5} означает множество всех целых чисел, -5

Задания. 1) Для каждых двух из следующих множеств определить, равны ли они и содержится ли какое-либо из них в другом: множество квадратов всех целых чисел; множество квадратов всех целых положительных чисел; множество квадратов всех целых отрицательных чисел; множество квадратов всех целых неотрицательных чисел. 2) По образцу равенства

{1, 2, 3,..., 100} = {x I x — целое число, 0 < x < 101}

обозначить другим способом каждое из следующих множеств: {x I x — целое чи ело }; {x | x }

{1/2,1/3,1/4,..., 1/1000}; {1, 8, 27, 64,125,...}.

4. Читателю должно быть уже ясно, что во множестве не обязательно должно быть «много» элементов — так же, как чернила не всегда черные.2 Множество {x | x —целое число, 1 < x < 4} = {2, 3} состоит всего из двух элементов, множество {x | x —целое число, 1 < x < 3} = = {2}

жащем ни одного элемента; только такой смысл может иметь, например, обозначение {x | x —целое число, 1 < x < 2}, ничем существенным не отличающееся от только что приводившихся. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. По точному смыслу определения равенства множеств все пустые множества равны между собой (действительно, все они «состоят из одних и тех же элементов», а именно, «не состоят ни из каких»), или, лучше сказать, существует только одно пустое множество. (Таким образом, {x | x — целое число, 1 < x < 2} — то же самое, что множество королей Франции, вступивших на престол после 1900 г.)

По определению считается, что пустое множество — часть любого множества, т. е. для любого множества А имеет место 0 С А. (Это не

A С В A

являющегося элементом множества В, то при A = 0 такого элемента заведомо нет.)

5. Для любых множеств A и В можно образовать новые множества, называемые их объединением, пересечением и разностью, следующим образом:

A В A В

A

тов В. Объединение A и В обозначается A U В.

A В A В

A

В

«общая часть*.) Пересечение A и В обозначается A П В.

Разностью между множеством A и тожеством В называется мноA

ми В. Разность между A и В обозначается A \ В.

Определения объединения, пересечения и разности множеств можно

A

В

Примеры. 1) Пусть A = {1, 2, 3,4} В = {2, 3, 5}. Тогда

A U В = {1, 2,3,4, 5} A П В = {2, 3} A \ В = {1,4} В \ A = {5}.

2) Пусть X = {1, 3, 5,... }, Y = {2,4, 6,... }.

Тогда X U Y = {1,2, 3,... }, X П Y = 0 X \ Y = X,Y \ X = Y.

Из определений ясно, что если A С В, то A U В = В, A П В = A, A \ В = 0.

Если A П В = 0, говорят, ч то AH В не пересекаются. В этом случае, очевидно, A \ В = A, В \ A = В.

Ясно также, что для любого множества A имеет место A U 0 = A,

A П 0 = 0, A \ 0 = A.

Задача. Пусть A = {1, 2, 3,...}, В = {n | n — целое, n < 6}. Найти A U В, A П В, A \ В, В \ A.

6. Операции над множествами, состоящие в образовании по двум множествам A и В их объединения A U В и пресечения A П В, также называются соответственно объединением и пересечением. Операция, состоящая в образовании по двум множествам A и В их разности A \ В, называется вычитанием.

Операции объединения, пересечения и вычитания множеств обладают некоторыми важными свойствами, во многом похожими на свойства арифметических действий над числами.

Вот эти свойства:

A U В = В U A (коммутативность объединения).

A П В = В П A (коммутативность пересечения).

Эти два свойства очевидным образом следуют из определений объединения и пересечения.

A U (В U C) = (A U В) U C (ассоциативность объединения).

Доказательство. По определению объединения левая часть этого (пока предполагаемого) равенства есть множество, состоящее из всех элементов множества A и веет цементов множества В U C. А поскольку В U C есть множество, состоящее из всех элементов В и всех элемен- C

A В C

совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что и правая часть состоит в точности из тех же элементов. ?

A П (В П C) = (A П В) П C (ассоциативность пересечения).

Доказательство. По определению пересечения левая часть предполагаемого равенства есть множество, состоящее из тех элементов множества A, которые являются также и элементами множества В П C.

А поскольку B П C состоит из тех элементов B, которые являются также C

в точности из тех элементов, которые принадлежат одновременно всем трем множествам А, B, C. Но совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что и правая часть состоит в точности из тех же элементов. ?

Благодаря коммутативности объединения и пересечения мы можем переставлять члены в выражениях вроде А U B или А П B, а благодаря ассоциативности —писать, например, вместо А U (B U C) или (А U B) U C просто А U B U C.

А П (B U C) = (А П B) U (А П C) (дистрибутивность5 пересечения по отношению к объединению).

Доказательство. Обозначим для краткости левую часть предполагаемого равенства через M, правую — через N. Чтобы доказать это равенство, достаточно установить, что M С N и N С M.

а) Докажем, что M С N. Пусть x G M; тогда x G А и x G B U C; последнее соотношение означает, что x G B или x G C. Если x G B, то, поскольку x G А, имеем x G А П B, откуда x G (А П B) U (А П C) = N. Если x G C, точно так же получаем x G А П C, откуда опять-таки x G N.

б) Докажем, что N С M. Пусть x G N; тогда x G А П B или x G G А П C. В первом случае x G А и x G B; из x G B следует x G B U C, что вместе с x G А дает x G А П (B U C) = M. Во втором случае рассуждаем аналогично. ?

Доказанные свойства объединения и пересечения совершенно аналогичны известным свойствам сложения и умножения чисел, причем объединение соответствует сложению, а пересечение умножению.

Однако следующее свойство уже не имеет аналога в арифметике:

А U (B П C) = (А U B) П (А U C) (дистрибутивность объединения по отношению к пересечению).

M

N

а) Докажем, что M С N. Пусть x G M; тогда x G А или x G B П C. В первом случае сразу имеем x G А U B и x G А U C, откуда x G N. Во втором случае имеем x G B, откуда x G А U B, и x G C, откуда x G А U C; но x G А U B и x G А U C дает x G N.

б) Доказательство соотношения N С M предоставляется читателю.

?

VII. A = (A \ В) U (A П В).

Доказательство. Каждый элемент A либо принадлежит В, либо не принадлежит. В первом случае он принадлежит A П В, во втором принадлежит A \ В, ж, значит, в обоих случаях принадлежит правой части. Таким образом, левая часть содержится в правой. А поскольку каждое из множеств A \ В ж A П В содержится в A, правая часть содержится в левой. ?

Т. Очень часто бывает, что рассматриваются всевозможные множества, являющиеся частями одного и того же множества U, и никакие другие множества не рассматриваются. Множество U называют в

A

держащегося в U, разность U \ A обозначают через CA и называют A U U U

A U U

U

Основные свойства дополнения (в предположении, что все рассматU

CCA = A

CCA

U CA

CA U

жат A. ?

C(A U В) = CA П ОВ.

Доказательство. Дополнение объединения A и В — это множество,

UA ни В, — иначе говоря, принадлежат как CA, так и CB. Но это как раз те элементы, которые принадлежат пересечению CA и CB. ?

C(A П В) = CA U бВ.

Доказательство. Дополнение пересечения A и В —это множество,

U

одновременно A и В, —иначе говоря, принадлежат хотя бы одному из множеств CA и CB. Но это как раз те элементы, которые принадлежат объединению CA и CB. ?

Читатель сможет представить себе эти свойства дополнения наглядно, если внимательно рассмотрит приведенный выше рисунок (считая множество всех точек плоскости рисунка универсальным).

Задача. Доказать, что C(А \ B) = CA U B.

8. В математике, в логике и в повседневной жизни часто приходится иметь дело с упорядоченными парами элементов того или иного множества, т.е. с парами, в которых один элемент считается первым, а другой вторым. (В частном случае первый и второй элементы могут совпадать.) Например, координаты точки на плоскости — это упорядоченная пара, в которой первым элементом считается абсцисса, вторым — ордината. Упорядоченную пару с первым элементом ai и вторым элементом а2 принято обозначать (а^а2). Например, (3, — 1) — упорядо-1

(2, 2) ны 2.

Наряду с упорядоченнами парами рассматриваются упорядоченные тройки, четверки и т.д. Обозначаются они аналогично: упорядоченnn элементом а^, вторым элементом а^, ..., n-м элементом ап записывается в виде (а1, а2,..., ап). Например, (2, 7, 6) — упорядоченная тройка с первым элементом 2, вторым элементом 7 и третьим элементом 6.

В повседневной жизни упорядоченные системы (часто их называют также кортежами) используются, когда нужно дать «имена» большому количеству однородных предметов, причем разные предметы должны иметь разные «имена». Так, номер телефона представляет собой упорядоченную n-ку элементов множества {0,1,..., 9} (число n в разных городах разное); принятые в странах СНГ почтовые индексы суть упорядоченные шестерки элементов того же множества. (То, что номера телефонов и почтовые индексы пишутся без запятых и скобок, очевидно, несущественно.)

Нередко приходится иметь дело и с такими упорядоченными парами, тройками и т.д., в которых разные элементы берутся из разных множеств. Например, полное имя человека в России есть упорядоченная тройка, первый элемент которой принадлежит множеству личных имен, второй — множеству отчеств и третий — множеству фамилий.

Внимательный читатель, вероятно, обратил внимание, что мы не дали никакого определения упорядоченной системы, т.е.

фактически ввели еще одно неопределяемое понятие.

Полезно заметить —это понадобится нам в дальнейшем, — что если множество состоит из к элементов, то упорядоченных пар из элементов этого множества имеется в точности к (поскольку первый элемент к

сочетаться с таким же числом возможностей выбора второго элемента), упорядоченных троек — к (поскольку каждая из к2 возможностей

к

выбора третьего), и т.д.

9. Следующее понятие, с которым нам предстоит познакомиться — отношение. Мы введем это понятие как неопределяемое и поясним его на примерах из естественного языка и элементарной математики.

В естественном языке мною слов, обозначающих различные отношения между двумя людьми, между человеком и предметом, между двумя предметами и т. п. Например, в каждой из следующих фраз подчеркнутое слово обозначает некоторое отношение: Миша старше Ванщ Это дерево выше, чем то; Мать любит сына; Ученик уважает учителя; Анна сисбна Ивана; Петров — подчиненный Сидорова; Пушкин — автор «Евгения Онегина»; Книга принадлежит библиотеке; Деревня расположена на берегу. Некоторые из этих слов выражают отношения

берется второй элемент —его областью прибытия. Если Р и Q — соответственно области отправления и прибытия отношения R и при этом x G Ржу G Q, то x и у могут находиться или не находиться в отношении R, то во всяком случае вопрос: «Находятся ли x и у в отношении R?» должен иметь смысл. Например, для рассмотренного выше отношения «лежит на» областью отправления служит множество точек, а областью прибытия — множество прямых; для отношения «быть автором» область отправления — множество людей, а область прибытия — множество произведений человеческого ума и рук.

Если область отправления и область прибытия отношения совпадают,

M

M

<

=

также заданное на множестве действительных чисел.

RP тия Q, то множество упорядоченных пар (x, у), таких, что xRy, назыR

ства чисел — это множество таких упорядоченных пар чисел, у которых первый и второй элементы равны. Пара (Пушкин, «Евгений Онегин») принадлежит графику отношения «быть автором», а пара (Пушкин, «Ревизор») не принадлежит.

RP

Q P R

Q

R Q R

PR Иногда область определения совпадает с областью отправления и множество значений с областью прибытия — например, для рассмотренных

=<

так. Примером может служить отношение «быть подчиненным»: оно задано на множестве людей, но, к счастью, не все люди — подчиненные и не все — начальники.

Другой пример: рассмотрим следующее отношение —мы обозначим его буквой Т,— областью отправления которого будет множество Г городов мира, а областью прибытия — множество Б букв русского алфавита: xTy означает, что русское название города x начинается и оканчивается буквой у. (Например, КурскТк, ОслоТо). Ясно, что область определения отношения Т — истинная часть множества Г,

а его множество значений — истинная часть Б. (Читатель сам приведет примеры городов, не принадлежащих области определения T, и букв, не принадлежащих множеству значений T.)

Отношение S называют обратным для отношения R, если xSy тогда и только тогда, когда yRx. Отношение, обратное для R, обозначают обычно R-1. Очевидно, область отправления отношения R является для R-i областью прибытия, а область прибытия R — областью отправления; в частности, если R задано та множестве M, то и R-i задано на том же множестве. Точно так же область определения отношения R является для R-i множеством значений, а множество значений RR очередь, обратным для R-i; поэтому говорят, что отношения R и R-i взаимно обратны.

Примеры: для отношения «больше» обратное отношение есть «меньl

ходит через точку A означает то же, что Точка A лежит на прямой l), для «быть женой» — «быть мужем». (Есть и такие отношения, которые сами себе обратны — например, равенство, параллельность, отношение «быть в родстве».)

S

ния {0,1,..., 9} и областью прибытия {а ,б,...,я}: xSy означает, что русское название цифры х начинается с буквы y. Выписать все элемен- SS (2) Пусть To—следующее отношение, заданное на множестве букв русского алфавита: xT0y означает, что ни в каком русском слове (не

х

y

элементов графика отношения T0. (б) Совпадает ли область определения отношения T0 с областью отправления? (в) Тот же вопрос для множества значений и области прибытия, (г) Совпадает ли отношение

T0

х

отношение, то слово, выражающее обратное отношение (если такое

х

слово меньше — конверсив слова больше, слово жена — конверсив слова муж.) Найти конверсивы слов: потомок, начальник, ученик, сосед, автор, страшить, радовать, нравиться, дружить, севернее, слева, далеко, близко. (Предостережение: не смешивать конверсив с антонимом!)

®От лат. ccmversio— «обращение».

10. Отношение называется функциональным, если каждый элемент его области определения связан этим отношением только с одним элеx

не может существовать более одного у, такого, что x и у связаны этим отношением (подразумевается, что x —первый элемент, а у —второй). Функциональное отношение обычно называют просто функцией. Функцию (функциональное отношение) F естественно представлять себе как некоторый «закон соответствия», по которому каждому элементу а области определения отношения F «ставится в соответствие» строго определенный элемент множества значений, а именно тот единственный элемент Ъ, который связан с а отношением F, т.е. тот, для которого справедливо а^Ъ. Этот элемент Ъ обозначается F(а) (читается F а а

Ъ

образа, не обязан быть единственным.) Если x и у— переменные, проF

то x называют независимой переменной, или аргументом, а у — завиа

F

то естественно сказать, что соответствующее значение Ъ = F(а) зависимой переменной зависит от а (подробнее — «зависит по закону F»); этим и объясняются названия «независимая переменная» и «зависиF F(x)

(читается «F от x») или «функция у = F(x)». (Разумеется, вместо x и у можно использовать любые другие буквы!) Если x0 — какое-либо значение независимой переменной (т.е. элемент области определения функции F) и у0 — соответствующее значение функции F (т. е. образ элемента x0), то говорят, что при значении независимой переменной, x0 у0 Если областью определения некоторой функции является множест- MM Из школьного курса математики читатель должен быть хорошо знаком с функциями, заданными на множестве действительных чисел. РасQ

стве: xQ^ ^^^^^ает, что у = x2. Поскольку для каждого действительного числа существует только одно число, являющееся его квадратом, это отношение есть функция (так что вместо xQ^ писать у = Q(x)).

Ее область определения — множество действительных чисел, множество значений — множество неотрицательных действительных чисел. Имеем, например: Q(2) = 4, Q(—2) = 4, Q(0) = 0.

Однако область определения и множество значений функции не обязательно должны состоять из чисел. Пусть, например, xMy означает

y х M

множество людей, областью прибытия — множество женщин. Очевидно,

M

мать).

Другой пример: для каждого человека х обозначим через П(х) ту (русскую) букву, которая записывается в его анкете в графе «пол», т. е. м для мужчин и ж для женщин. Отношение П есть функция, областью определения которой является множество людей, а множество значений состоит из двух русских букв м, ж.

Еще одним примером «нечисловой» функции может служить отно- T

В дальнейшем в этой книге нам будут нужны главным образом «нечисловые» функции.

Замечание. Следует обратить внимание на различие между терминами «функция определена на множестве» и «функция задана на множестве». Например, функция y = sfx задана на множестве (всех) действительных чисел, но определена на множестве неотрицательных действительных чисел.

Задачи. (1) Пусть P —следующее отношение, заданное на множестве букв русского алфавита: xPy означает, что в слове трудолюбие имеется буквосочетание xy. (Например, буква ю находится в отношеPP (б) Выписать все элементы области определения, все элементы множеP

Выписать все элементы графика функции G, определенной на множестве порядковых номеров слов в тексте настоящей задачи, считая с начала, и такой, что для каждого слова значение функции от его номера равно числу букв в этом слове (например, G(1) = 8).

В лингвистике принято обозначать через Magn (от латинского magnus —«большой») функцию, определенную на некотором подмножестве множества слов заданного естественного языка (например, русского) и такую, что Magn(x) есть слово, обозначающее «высокую степень» того, что обозначается словом х.

Например: Magn(an^oduc,MeHmt>t) = бурные;

Magn( плакать) = горько;

Magn(one4^ieHm>tu) = глубоко.

Найти значения функции Magn от слов: уважение, свет, тьма, храбрость, молодость, старость, победа, поражение, здоровье, болезнь, грех, спать, дурак, дождь.

11. До сих пор, говоря об отношениях, мы для простоты ограничивались теми из них, в которых участвуют только два объекта. Однако в естественном языке есть и такие слова, которые выражают отношения между тремя объектами — например, дал (кто — что — кому: Иван дал книгу Петру), научил (кто — кого — чему: Отец научил сына грамоте), рассказал (кто —кому —о чем: Ваня рассказал Мише о своей работе), между четырьмя — купил (кто — у кого — что — почем: Иван купил у Петра корову за сто рублей) и даже между пятью — арендовал (кто — у кого — что — на какой срок — за какую плату: Смит арендовал у Джонса пять акров земли на два года за двести фунтов.

В математике также встречаются отношения между тремя, четырьмя и более объектами. Например, если А, B, C —точки, лежащие на одной прямой, то фраза «C лежит между А и B» выражает определенное отношение между этими тремя точками; фраза «Прямые к и l пере- А

два из которых —прямые, а третий — точка; если а, Ъ, с —числа, то выражение а + Ъ = с представляет собой утверждение о том, что между данными числами имеется определенное отношение: сумма первых двух равна третьему. Отношение пропорциональности а/Ъ = с/d связывает уже четыре объекта.

В дальнейшем, говоря об отношениях, мы будем подразумевать отношения между любым числом объектов. Отношения между двумя объектами называются бинарными или двуместными, между тремя объектами — тернарными или трехместными-, отношения, в которых участвует точно n объектов, n = 2, 3,..., называются n-местными.

n

ния R понятно выражение «xi, x2,. ..,xn связаны отношением R (или

R

R

будем называть областью первых — соответственно вторых, третьих

R

между собой, т. е. равны одному и тому же множеству M, мы говорим, что отношение задано на множестве M.

Графиком n-местного отношения R называется множество всех тех упорядоченных n-ок (xi,x2,..., xn), для которых xi,x2,...,xn связаны R

Примеры. 1) Для тернарного отношения «х и y — соответственно отец и мать z-а» область первых элементов есть множество мужчин, область вторых элементов — множество женщин, область третьих — множество людей. Примером упорядоченной тройки, принадлежащей графику этого отношения, может служить тройка (Сергей Львович Пушкин, Надежда Осиповна Пушкина, Александр Сергеевич Пушкин).

2) Графику заданного на множестве действительных чисел тернарного отношения х + y = z принадлежат, например, упорядоченные тройки (3, 2, 5), (2, 2, 4), (-7,10, 3) и не принадлежат тройки (2, 3, 4), (2, 3, 6), (2, 2, 9) и т.п.

Теперь мы можем обобщить также и понятие функционального отношения (функции).

(n +1)-местное отношение (n = 2, 3,...) называется функциональным, если ни для какой упорядоченной n-ки (xi, х2,..., xn) не может существовать более одного y, такого, что xi,x2,..., xn, y связаны данным отношением.

n

нице, и при n = 1 вместо упорядоченной n-и брать просто х1, то введенное выше понятие функционального бинарного отношения окажется частным случаем введенного только что общего понятия функционального бинарного отношения.

(n + 1)-местное функциональное отношение обычно называют функ- n

же самое, что «просто» функции, рассматривавшиеся выше.

Областью определения функции n переменных F называется множество тех упорядоченных n-ок (x1,x2,...,xn), для которых существуют y, такие, что х1,х2,..., xn, y связаны отношением F. Множеством

n F y

которых существуют упорядоченные n-ки (x1,x2,...,xn), такие, что xi,x2,...,xn,y связаны отношением F.

Примеры. 1) Рассмотренное выше тернарное отношение х + y = z, заданное на множестве действительных чисел, является функциональным отношением, т. е. функцией двух переменных, поскольку для каждой пары чисел х, y существует только одно число z, такое, что х + y = z. Областью определения этой функции служит множество упорядоченных пар действительных чисел, а множеством значений —

само множество действительных чисел. Если обозначить эту функцию

F x, у

F(x, у) = x + у. Например, F(3, 2) = 5, F(2, 2) = 4.

Объем прямоугольного параллелепипеда есть функция трех переменных, называемых обычно его «измерениями» («длины», «ширины» и «высоты»). Эта функция выражается формулой V(x, у, z) = x'^gz, где x^, z — «измерения» параллелепипеда. Ее область определения состоит из всевозможных упорядоченных троек положительных чисел, множество значений — из всевозможных положительных чисел.

Окончание русского прилагательного (точнее, полного прилагательного в положительной степени) зависит от его основы (например, основа прилагательного белый есть бел-, основа прилагательного настольный — настольн-) и четырех грамматических характеристик, по которым прилагательное согласуется с существительным: рода, одушевленности/неодушевленности, числа и падежа. Иначе говоря, окончание русского прилагательного есть функция пяти переменных x^, z,u,v,

x

прилагательных (довольно обширное, но конечное и вполне обозримое), переменная у пробегает множество {муж, жен, ср}, переменная z — множество {одуш, неодуш}, переменная u —множество {ед, мн} и переменная u—множество {нм, род, дат, вин, тв, предл}. Смысл обозначений здесь ясен. Обозначив эту функцию Fl(x, у, z, u, v), мы будем иметь, например:

Fl(больш-, муж, одуш, ед, вин) = -ого;

Fl(больш-, жен, z, ед, вни) = -ую при любом значении z;

F\(MAAEHBК-, у, Z,MH, ТВ) = -ими при любых значениях у и z.

Задачи. (1) (а) Привести несколько примеров упорядоченных троек,

x

человека у на n лет».

(б) То же для отношения «Расстояние между железнодорожными

x у z

(в) То же для заданного на множестве действительных чисел отношения x + у + 1 = 2z.

Для каждого из отношений предыдущей задачи ответить на вопрос, является ли оно функциональным.

Пусть Fn(x1,x2,...,xn), где n —одао из чи сел 1, 2, 3,...,n, есть

n

русского алфавита:

Fn(x1,x2,..., xn) = а, если среди букв х1,х2, ...,xn нет двух одинаковых;

Fn(x1,x2,..., xn) = б, если среди букв х1, х2, ...,xn есть две одинаковые, но нет трех одинаковых;

Fn(x1,x2,...,xn) = в, если среди букв x1,x2,...,xn есть три или более одинаковых.

(Например: Fs(a,$,a,s,H) = a; Fs(a,$,a,s,й) = б; Fs(s,s,a,s,s) = е.)

Найти:

(а) F4(F2(a,6), Fs(a,5,e), F1(5),F1(e));

(б) Fs(F1^^ F1(6), F^e));

(в) ад(аДв));

(г) F100(x1, x2,..., x100), где x1 ,x2,..., x100 —произвольные русские буквы.

<< | >>
Источник: Гладкий А. В.. Введение в современную логику. — М.: МЦНМО,2001. — 200 с.. 2001

Еще по теме Глава 4. Множества и отношения:

  1. Глава VI Религиозный путь. Дуализм. Пессимизм в отношении к земной жизни. Религиозная философия. Филаретовское и хомяковское православие. Отношение к католичеству. Трансцендентная религия и мистика. Натурализм и Апокалипсис. Отношение к старчеству. Отношение к смерти. Заключительная оценка
  2. Множество аспектов Я и сложность Я
  3. 15.7. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
  4. 11.5. ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВЕКТОРОВ. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
  5. 2.3. Алгоритм формирования множества номенклатуры деталей, подлежащих планированию
  6. РАЗДЕЛ 1. Множество допустимых возможностей потребителя. Бюджетная линия
  7. Глава IV Стремление к монашеству. Борьба эстетики и аскетики. Нужда. Болезни. Жизнь в Москве. Оптина Пустынь. Принятие тайного пострига. Смерть. Духовное одиночество и непризнание. Отношения с Вл. Соловьёвым. Отношение к русской литературе
  8. Параграф VIII О различных видах восприятий; каким образом каждое из них заключает в себе бесконечное множество других восприятий
  9. ГЛАВА 7. ПРАВОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
  10. Глава 23. Правовые отношения
  11. Глава XVII ПРАВОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ
  12. Параграф V О том, что непонятно, каким образом в каждой монаде может быть бесконечное множество восприятий и каким образом они могут представлять вселенную
  13. Глава 12 ПРАВОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУПРУГАМИ
  14. Глава 13 ПРАВОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ РОДИТЕЛЕЙ И ДЕТЕЙ
  15. ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. ЭТНОПСИХОЛОГИЯ СЕМЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ
  16. ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. ПРОФЕССИОНАЛИЗМ В МЕЖНАЦИОНАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
  17. ГЛАВА I. МЕЖДУНАРОДНЫЕ ОТНОШЕНИЯ ТЮРКСКИХ ГОСУДАРСТВ В VI ВЕКЕ