19.5. УСЛОЖНЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ

Простота примеров, рассмотренных в разделах 19.2 и 19.3, вызвана тем, что, во-первых, в каждом микроуравнении имеется только одна независимая переменная (доход или цена), и, во-вторых, что ни одна независимая переменная не встречается более чем в одном микроуравнении. Откажемся от этих ограничений: от первого — в настоящем разделе, от второго — в двух последующих разделах. Теперь каждое из микроуравнений, а также полученное из них единственное макроуравнение, включает несколько независимых пере- менных; при этом приобретают важность различные перекрестные влияния, ранее исключавшиеся.

Предположим, что индивидуальные потребители на самом деле представляют семьи различного размера, и что размер семьи можно отобразить каким- то единым показателем, характеризующим спрос этой семьи на рассматриваемый товар (например, с помощью какой-то шкалы эквивалентности). Обозначим через

Ув = ав1*. + ЬЛ + Лв (*=1, 2, ...,7l) (1)

спрос 5-го потребителя, если его доход равен ps, а размер семьи vs. Требуется найти макроуравнение у = ар, + &v + А, где р, — некоторый совокупный доход, a V —некоторый показатель общей численности населения. Метод (I). Пусть суммирование уравнений (1)

У = 2 У в = 2 «s^s + S Ms + 21 К

s s s s

.дает точное макроуравнение, которое означает, что и р, и v суть взвешенные синтетические показатели рассмотренной выше формы. В самом деле: где

(2)

y = a\i + bv + k,

s. s 8 при условии

является точным макроуравнением, получаемым из микроуравнений (1). Метод (II). При простом укрупнении (г/ = 2 2/s» Vі = 2 Ш и S S S

осередненное макросоотношение y = a\i + bv + k+u, приходится подбирать для некоторого периода времени, для которого заданы динамика г/8, p,s и vs, а значит и движение у, р, и v. Подберем уравнения регрессии:

(3) где

vs = Abs\x + Bbsv + Kbs + v3,

2^3 = 2^3=1 И 2As = 2?as=2^as = 2^s = 0. Значения шести коэффициентов регрессии зависят от характера движения переменных во времени. Произведем подстановку в уравнение (1) на основе (3), просуммируем по s и получим осередненное макросоотношение для случая простого укрупнения:

у = a\i -f bv + к + и,

где

« = 2 Mas + 2 Mbs — аЛ w Cov (asAas) + п Cov (bsAbs) ' 8 8

Ь = 2 «А* + 2 KBbs = Ь + п Cov (asBJ + п Cov (bsBbs)

8 S

* = 2 К + 2 яД08 + 2 Ь3КЬі = 2 К + п Cov (asKas) + п Cov (6ДЬз)

ss s s

Здесь и — отклонение, имеющее нулевую среднюю арифметическую и не связанное корреляционной зависимостью во времени с р и v. Ковариационные члены в правых частях уравнений (4) представляют систематическую ошибку укрупнения в макропараметрах. Их значения определяются точно так как это делалось выше (см. упражнение 1 настоящего раздела).

Все это уже нам знакомо. Укрупнение по методу (I) является простым, но не «естественным». Осередненные макропараметры, получаемые с помощью метода (И), зависят от значений микропараметров, а также от «истории» переменных в течение выбранного периода времени. Пользуясь этим способом, обычно получаем противоречивые прогнозы. Существуют ситуации, когда противоречиями можно пренебречь, например, если индивидуальные доходы изменяются пропорционально изменениям совокупного дохода, а размер семьи — пропорционально общей численности населения.

Однако единственная возможность избежать противоречий во всех случаях — это вычисление р и v как взвешенных синтетических показателей, причем веса определяются уравнениями (2); это — способ безупречного укрупнения (perfect aggregation) обеих переменных.

Новой особенностью здесь являются взаимные влияния подобранных макропараметров уравнений (4). Значение предельной склонности к потреблению а зависит не только от индивидуальных предельных склонностей к потреблению (as), но и от коэффициентов fes, характеризующих влияние размера семьи на индивидуальный спрос. Перекрестное влияние в уравнениях (4) отображается членом

.%bsAbs = nCov{bsAbs)A

s

Здесь сумма весов при bs равна нулю (2-^bs~ 0) и, казалось бы, можно

s

считать, что перекрестные влияния всегда малы. На самом деле это далеко не так. Если окажется, что коэффициент регрессии является положительным для семей с большим коэффициентом влияния размера семьи на спрос (bs), а для семей с малым bs— отрицательным, то перекрестные влияния могут быть значительным^.

Этот результат легко обобщается для системы микроуравнений:

Уз = asxls + bsx2s + Cax3s + • • • + К (s = 1, 2, . . . , n), укрупняемых в макроуравнение:

у = ах1 + Ьх2 + сх3 + . .. + к.

Укрупнение осуществляется просто; необходимо лишь произвести суммирование всех п уравнений по всем и по каждому из х-в. Результаты укрупнения в точности совпадают с приведенными выше (2), (3) и (4) — лишь в каждом случае число слагаемых будет больше. В частности, в системе (4) окажется больше слагаемых, отражающих взаимные влияния одного параметра на другой. Это рассмотрено Тейлом в его теореме 1 [8]. Такой случай иллюстрируется приведенными ниже задачами.

Задачи и упражнения 1.

Определить значения членов, отображающих ошибку укрупнения в уравнении (4), показав, что

Gov (as^4as) = ~ 2 a*Aas—^ « и Gov (Mbs) = \ 2 bsAbs'

s 8 2.

Если ys = asps-j-bsXs-(-csvs ks есть спрос семьи, имеющей доход ps и состоящей из Xs взрослых и vs детей, то каким образом можно получить уравнение совокупного спроса г/ = apt-(-ЬЛ,сv-f-Л:? Истолковать полученный результат. 3.

Ряд товаров входит в некоторую группу товаров (г = 1, 2, ..., п), остальные не входят. Если спрос индивидуального потребителя на товары определяется уравнением yr = arpr-\-brqr--\-kr (г=з1, 2, ..., и), то правильно ли будет характеризовать спрос этого потребителя на товары всей группы в целом укрупненным уравнением у=ap-\-bq-]~kt где р-тиндекс цен рг для группы товаров (г = 1, 2, ..., и), а q—индекс цен qr для другой группы товаров (г = 1, 2, ..., га). 4.

Показать, что результаты решения упражнения 3 из раздела 19.2 (о потребности отрасли промышленности в рабочей силе), можно ,распространить на случай выпуска отраслью (и входящими в нее фирмами) более чем 'одного вида продукции. 5.

Рассмотреть упрощения в уравнениях (4) при Cov (6s^bs) = Gov (asBas) — 0; проанализировать этот случай аналогично тому, как это сделано в разделе 19.4. В частности, рассмотреть случай простых форм уравнений регрессии (3): ps = ^asM'H~Ms и vs = Bbsv+vs.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 19.5. УСЛОЖНЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ:

  1. 15.2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
  2. 19.3. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: УКРУПНЕНИЕ ПО ТОВАРАМ
  3. 19.2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: УКРУПНЕНИЕ ПО ИНДИВИДУАЛЬНЫМ ПОТРЕБИТЕЛЯМ
  4. 15.1. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  5. ГЛАВА VII НАСКОЛЬКО ПРОСТО РАССУЖДЕНИЕ, КОГДА ПРОСТ САМ ЯЗЫК
  6.     ЧТО ТАКОЕ НОРМАЛЬНАЯ ЖИЗНЬ НА УРОКЕ?     Десять лет спустя: не просто простые вопросы, а путь к ответу
  7. Глава тринадцатая О ПРОСТЫХ МОДУСАХ, И ПРЕЖДЕ ВСЕГО О ПРОСТЫХ МОДУСАХ ПРОСТРАНСТВА
  8. ПРОСТОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ
  9. ПРОСТО ЧЕЛОВЕК
  10. ПРОСТОЕ ИМЯ ЦАРИЦЫ