Задать вопрос юристу

3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ

Модель, приведенная в разделе 3.4, включает только независимые капиталовложения, акселератора в ней нет. Добавим теперь акселератор с запаздыванием, последний в форме непрерывной показательной функции (3) из раздела 3.2, с коэффициентом инвестиций v и скоростью реакции х.
Следовательно, если / представляет фактические индуцированные капиталовложения в момент t, вызванные изменениями в выпуске продукции, то оно будет описано уравнением

dl ґт dY\ /у| v

Совокупный спрос будет теперь Z — C-\-I-\-A, где, как и прежде, C — cY = (l — s)Y без запаздываний, то есть

Z = (i-s)Y + I + A. (2)

Предложение, как и раньше, берется с непрерывно распределенным запаздыванием и скоростью реакции:

(3)

81

6 Р. Аллен

Выражения (1) —(3) являются уравнениями модели. Модель имеет два непрерывно распределенных запаздывания: одно на стороне предложения (реакция выпуска продукции на спрос со скоростью X), второе на стороне акселератора (индуцированные капиталовложения реагируют на изменение выпуска продукции со скоростью реакции х). Дифференциальное уравнение относительно У получается исключением Z и I из выражений (1) —(3). Сделаем сначала подстановку выражения (2) в (3):

+ -8)Y + I + A},

ТО есть или

d2Y dY dt "" X dt* +S dt '

Подставляем в выражение (1)

1 dW , dY /1 , v Л , dY

то есть

1 d*Y , / , x \ dy , v ,

Получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно У:

+ М = (4)

где

а = Xs + и — хЯа и & = xXs.

Решение уравнения (4), постоянное при всех значениях t, будет У = У, где Y = A/s. Уровень равновесия, заданный статическим мультипликатором, вновь согласуется с моделью. Пусть y — Y — У. Тогда (4) перепишется так:

= 0 ' (5)

с теми же самыми значениями а и 6. Решение (5) характеризует динамику у, а следовательно, и У. Подробно это решение рассматривается в главе 7. Там будет найдено, что в общем случае решение описывает колебательное движение (оно может быть и взрывным) вокруг Y=Y=A/s.

При подходящих начальных условиях дифференциальное уравнение (4) может представить движение выпуска продукции от одного положения равновесия до другого.

Предполагается, что первое положение равновесия достигнуто при У=0 в- 0 в момент, непосредственно предшествующий скачку спроса А. Движение от У=0 к новому положению равновесия Y=AJs задается уравнением^). Кроме того, теперь нужны два начальных условия (см. 4.2). Одно из этих условий состоит в том, что Y=0 в ?=0. Другое условие — начальное значение dYldt в момент ?=0, заданное мультипликатором, так как акселератор еще не пришел в действие. Это значение есть dY/dt=XA (см. 3.4, упражнение 5). Следовательно, динамика от одного положения равновесия к другому описывается дифференциальным уравнением (4), подчиненным условиям У=0 и dY/dt=XA в ?=0.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что модель мультипликатора-акселератора не будет иметь непредусмотренных сбережений, если все планы потребителей осуществляются, и что весь разрыв в реализации планов, вызванный наличием запаздываний, выражается в непредусмотренных капиталовложениях. 2.

Иллюстрировать тот факт, что для дифференциального уравнения (4) необходимы два начальных условия. Для этого показать, что если У = 0 и dY/dt = XA в t = 0, то d2Y/dt2 в момент ? = 0 также известно. Каково будет значение d2Y/dt2 и что оно будет означать с точки зрения графического изображения динамики У? 3. Показать, что уравнения (1) —(3) модели можно написать с помощью дифференциальных операторов D—d/dt:

где

Z = C + /+A, С = (

Доказать, что

у= СР+х)ф+ц ««+*-»)ДУ+х(1-')У+н^>

и что это выражение соответствует дифференциальному уравнению (4). 4.

Приведенная в тексте модель предполагает отсутствие запаздываний потребительского спроса. Ввести в модель непрерывно распределенное запаздывание потребления, положив dC/dt= —у (C—cY)> где у—скорость реакции. Доказать, что изменение модели заключается в замене C = cY в уравнении (2) на данное здесь значение С, и показать, что в этом случае получается дифференциальное "уравнение третьего порядка. Показать, что в обозначении предыдущего упражнения

где

Z = C + I+A, С=="=г-Ї— cYf І—тгт— vDY, 1 1 Я+Y D+и

и получить отсюда дифференциальное уравнение третьего порядка относительно Y.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ:

  1. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  2. 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР
  3. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  4. 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР
  5. 7.7. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ФИЛЛИПСА
  6. ГЛАВА 2 КЕЙНС И КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: МУЛЬТИПЛИКАТОР
  7. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  8. 3.2. АКСЕЛЕРАТОР
  9. ГЛАВА 7 ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА ГУДВИНА, КАЛЕЦКОГО И ФИЛЛИПСА
  10. 2.6. СТАТИЧЕСКИЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
  11. Группа С. Медиаобразовательные модели, представляющие собой синтез социокультурной, образовательно-информационной и практико- утилитарной моделей Медиаобразовательная модель А.В.Шарикова [Шариков, 1991]*
  12. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  13. Модель материнства и «путь к модели» в условиях современного общества
  14. Логико-философское направление. Модель знака и     семиотическая модель коммуникации Ч. Пирса
  15. Probit- и fogtt-модели Описание моделей
  16. Коростелев, Иван Николаевич. Математическая модель стационарных физических полей и критерий МГД—стабильности В алгоритмах динамической модели алюминиевого электролизера / Диссертация / Москва, 2005
  17. Группа B. Медиаобразовательные модели, основанные на синтезе эстетического, образовательно-информационного и воспитательно- этического подходов Медиаобразовательная модель С.Н.Пензина [Пензин, 1987; 2004] *
  18. § 2. Право в космической модели мира и в универсалистской модели мира
  19. 7.3. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МОДЕЛИ ГУДВИНА