Задать вопрос юристу

3.9. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛИЗ

В разделе 3.7 рассматривался простейший случай, когда It = = v(Yt_1 — Yt_2), и все индуцированные капиталовложения концентрировались (humped) в первом же временном интервале после изменения выпуска продукции.
Распространим теперь вышесказанное на более общий случай <с распределенным запаздыванием капиталовложений [см. (2) в разделе 3.7]. В то же время можно включить в модель и более продолжительные запаздывания потребления в соответствии с уравнением (1) из раздела 3.7.

Сущность этого обобщения достаточно иллюстрируется следующими равенствами:

Ct^^i-i + c%Yt_2-\-c3Yt_3, где c± + c2 + c3 = cf (1)

и

+ где Vl + Tb=V. (2)

Из условия действия модели Yt = Ct + It + At вытекает конечно-разностное уравнение третьего порядка:

У< = (vt + q) Yt_x - (v± с2) Yu% - (v2 - c3) Yt_з + At. Его можно преобразовать следующим образом:

Y, = cY^ + (0l - с') (У,- У(.2) + (v, - с") (Yt_t - Yt_3) + At, (3)

где ^ = ^ + + с' = с2 + с3 и с" = с3. Выражения для с, с\ с" можно назвать кумулятивными предельными склонностями к потреблению в распределенном запаздывании потребления (1).

Наиболее важными свойствами модели являются особенности акселератора (2). В модели имеется теперь распределенное запаздывание. Затраты на капиталовложения в период t зависят от изменений выпуска продукции в интервалы t—1 и t—2, например, от двух совокупностей предыдущих решений об инвестициях. И наоборот, следствием каждого решения о капиталовложениях являются затраты на протяжении двух будущих периодов. Могут представиться два следующих крайних случая: 1) vx=v и когда затраты на капиталовложения концентрируются в первом интервале времени, и 2) v2 = v, когда инвестиции откладываются и производятся

главным образом во втором периоде. Имеются и промежуточные варианты, когда vl > 0 и v2 > 0, то есть затраты производятся на протяжении обоих периодов. Они могут производиться равномерно или в большей или меньшей степени концентрироваться на протяжении того или другого промежутка. Запаздывание акселератора можно описать с помощью двух констант, подобно средней и дисперсии или размаха. Такими константами могут служить коэффициент v, характеризующий общую мощность акселератора, и величина и2 (по отношению к vx или у), которая показывает размер запаздывания. Легче определить влияние распределенных запаздываний потребления. Они описываются кумулятивными величинами предельных склонностей к потреблению (с, с', с"). Влияние первой из этих величин выражается также через предельную склонность к сбережениям s=l—с. Прочие две, отражающие распределение запаздывания, просто служат для уменьшения мощности акселератора. В конечно-разностном уравнении (3) с' уменьшает силу и19. а ссилу v2.

Как и раньше, можно получить различные частные решения уравнения (3). Если At — постоянно и равно А, то Yf = Y будет решением, где Y = А /(1— с) определяется статическим мультипликатором. Далее, подставив в уравнение (3) yt=Yt-—Y, получаем

Уг = Щ-1 + К - О - yf+ (о. - с") (yt_;-yt„з). (4)

Решение этого уравнения дает динамику yt> то есть движение Yt относительно Y.

Опять-таки при постоянных независимых расходах (At=const) возможен рост дохода в геометрической прогрессии. Подставим yt = у0 (1 + 7*)' в уравнение (4), и надлежащий темп роста г найдется как вещественный положительный корень уравнения

Это — уравнение третьей степени относительно г:

R = r3-(v-v2-s — c,-2)r2-(v~-2s-c'-c"-i)r-)rs = 0. (5>

Графически (см. рис. 8) можно убедиться, что из трех возможностей лишь одна представляет интерес, именно та, которая дает три вещественных корня уравнения (5), из которых один отрицательный и два положительных. В этом случае имеются опять два возможных темпа роста Yt в геометрической прогрессии.

Позже мы получим общее решение конечно-разностного уравнения. Однако уже и сейчас можно сказать, что это уравнение третьего порядка дает значительно большее разнообразие типов динамики Yf, чем вышеприведенное уравнение второго порядка (см. 3.7). Более того, по мере расширения распределения запаздывания, включаемого в функции потребления и капиталовложений (то есть в мультипликатор и акселератор), повышается порядок результатного конечно-разностного уравнения, а вместе с ним возрастает и число решений, то есть количество возможных вариантов динамики Yt.

Таким образом, мы приходим к заключению, что в «реалистичной» дискретной модели, учитывающей всевозможные запаздывания и отставания* возникающие в действительности, динамика Yt должна быть найдена из конечно-разностного уравнения высокого порядка.

В таком случае открывается очень большой выбор возможностей. При экономическом истолковании результата обилие и многообразие решений являются и преимуществом и препятствием. Среди большого разнообразия решений уравнения даже не очень высокого порядка чрезвычайно трудно отличить характерные и важные случаи и случайные возможности, которыми можно пренебречь. Таково математическое отражение экономической реальности при дискретном анализе. Например, если потребление имеет кратковременное отставание, а последствия решений о капиталовложениях проявляются через более продолжительные и меняющиеся периоды, тогда на протяжении короткого отрезка времени могут произойти необычные явления в отношении выпуска продукции, величины запасов и оборотного капитала; более того, эти необычные явления вызывают позже отзвук в виде эффекта «эхо» в последующие периоды, маскируя тем самым реальное действие акселератора.

Одна возможность упрощения заключается во введении жестких предпосылок относительно продолжительности и единообразия запаздываний системы. Именно так мы и поступили в данной главе. Риск тут состоит в том, что взятый за единицу промежуток времени — всегда до некоторой степени произвольный — может быть столь длительным, что уничтожит в себе многие интересные явления (например, краткосрочные изменения запасов и величины оборотного капитала).

Характерная черта дискретного анализа заключается в трудности выбора между произвольным упрощением ради удобства математического решения и сложностью «реальных» моделей с широко распределенными запаздываниями и большим разнообразием решений, из которых нужно отыскать и отобрать более важное и менее существенное. Но остается и еще одна возможность. Так как приближение к действительности требует введения множества различных запаздываний, то более целесообразно использовать непрерывный анализ, как это сделано в модели Филлипса (см. 3.5). Тогда широко распределенное запаздывание (например, в акселераторе) становится при переходе к пределу непрерывно распределенным, с которым можно оперировать с помощью дифференциалов, а не с помощью конечных разностей. Можно было бы ожидать, что непрерывный вариант даст уравнения даже более высокого порядка с еще большим размахом возможных решений, так как он представляет собой предел, к которому стремятся соотношения в дискретной форме, по мере того как запаздывания растягиваются более широко. Но в действительности, как было показано в разделе 3.5, это не так, по крайней мере для случая, когда непрерывно распределенные запаздывания берутся в форме показательной функции. Преимущество непрерывного анализа в том, что при этом оперируют дифференциальными уравнениями относительно низкого порядка, которые менее богаты решениями, чем соответствующие конечно-разностные уравнения, и легче решаются хорошо разработанными приемами. В дальнейшем мы исследуем различные типы моделей (см. гл. 6—8), и тогда окажется, что большая амплитуда решений в дискретном анализе по сравнению с непрерывным вовсе не соответствует большему приближению к экономической «реальности». Многие из найденных решений будут представлять собой колебания в пределах допускаемых фиксированных запаздываний или отставаний. Они мало интересны или не представляют собой подлинного решения.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что в дискретном анализе при распределенном запаздывании акселератора введение краткосрочного запаздывания или полное отсутствие такового в личном потреблении не является действительным упрощением. Сопоставить это с упрощением, получающимся в отсутствие запаздываний потребления в непрерывном анализе (см. 3.5, особенно упражнение 4). 2.

Графически исследовать вышеприведенное кубическое уравнение R— О (5), представив R как функцию от /•. Показать сначала, что кривая пересекает OR выше точки О. Вывести отсюда, что существует лишь три варианта для корней R = 0: 1)один вещественный отрицательный корень; 2) три вещественных отрицательных корня; 3) три вещественных корня, из которых два положительны и один отрицателен.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 3.9. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛИЗ:

  1. 6.9. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  2. В. НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ ВЕЛИЧИНА 1.
  3. §1. Может ли пространство быть непрерывным, а время — дискретным?
  4. Непрерывность и дискретность. Разные пути, ведущие к идее логической многозначности
  5. 6.7. БОЛЕЕ ОБЩАЯ МОДЕЛЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  6. 4.8. НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННОЕ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ) ЗАНАЗДЫВАНИЕ2
  7. 14. СТАТИСТИКА I: АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
  8. Устойчивость распределения суммарных баллов и корреляционный анализ шкал и утверждений опросника
  9. Глава 4. Дискретное время
  10. Дискретные зависимые переменные и цензурированные выборки
  11. 3.1. НЕЗАВИСИМЫЕ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ
  12. 3.6. ТЕОРИЯ РОСТА ХАРРОДА — ДОМАРА В ДИСКРЕТНОЙ ФОРМЕ
  13. 2.8. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СБЕРЕЖЕНИЯМИ И КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  14. 5.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  15. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  16. 6.8. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ (СКУЧЕННЫХ) КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  17. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ