Задать вопрос юристу

8.5. СВОБОДНЫЕ ВАРИАЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ

Передаточные функции применяются прежде всего при определении частоты и затухания (р = а + го) свободной, или собственной, присущей системе синусоидальной вариации, то есть самоподдерживающихся изменений в линейной системе.
Работа Фриша [5] является обобщением первоначального опыта по анализу свободных колебаний.

В азделах 8.3 и 8.4 предполагалось, что синусоидальная] вариация совершенно произвольна: р = а + г со могло принимать любые значения. Мы не проводили различия между вынужденными и свободными, или собственными колебаниями, так как это не имело значения. В частности, передаточная функция обратной связи F (р) в точке У в завершенной системе принимала различные значения в зависимости от изменения р. Для любого р, при котором F (р) Ф 1, амплитуда и фаза У при наличии обратной связи отличались от их значений на входе У. При этом частном значении р колебательное движение не представляло собой самоподдерживающегося колебания, а таковым соответствовали лишь значенияр, при которых/7 (р) = 1. Эти-то собственные колебания и представляют собой свободную вариацию системы.

Условие существования свободной вариации очень просто: F (р) = 1. С алгебраической точки зрения это — уравнение относительно комплексной переменной р = а + і со. Из этого уравнения можно найти одно или несколько значений р, каждое из которых соответствует свободной вариации системы. Эта вариация может быть монотонной (со = 0) или колебательной (со Ф 0)j в последнем случае она может быть затухающей (а < 0), взрывной (а > 0) или регулярной (а = 0). Для решения уравнения могут применяться обычные алгебраические методы. Другой способ состоит в том, чтобы действительную часть F (р) приравнять единице, а мнимую — нулю.

На блок-схеме кривая вектора реакции для F (р) покажет эффект изменения со для различных фиксированных а. Если какая-либо кривая из этого» семейства кривых пройдет через точку А (1, 0), то F (р) = 1,и на этой кривой могут быть показаны значения а и со, при которых будет происходить свободная вариация системы.

Для иллюстрации метода и получения^ результатов, в какой-то мере известных, рассмотрим простейшую модель мультипликатора-акселератора (см. рис. 26, а). В этой основной модели отсутствуют запаздывания, и мы игнорируем независимые расходы (А = 0). Система, состоящая из двух замкнутых цепей, соединяющихся в точке У (доход), описывается уравнением:

У = С + /, где С=сУ и

Отсюда, приравнивая значения на входе и значения обратной связи, получаем:

У tfl dY 1 —cdt '

Дальнейшее углубление модели идет по линии введения различного рода отставаний и запаздываний в цепь акселератора (но не мультипликатора). Как видно из рис. 26, б, модель все еще остается простой. Но с помощью ее* уже можно показать сущность акселератора и важную роль введенного типа запаздывания.

Основная модель рассматривается ниже в виде случая I. Затем вводим три различных типа запаздываний: случай II — простое запаздывание по показательной кривой; случай III — два последовательных равных запаздывания и случай IV — фиксированное отставание. Нижеприводимая таблица показывает, во-первых, соотношение значений на входе и при наличии обратной связи и, во-вторых, соответствующую передаточную фуцкцию F (р)г полученную с помощью обычных правил (см. также упражнение 2 раздела 8.4). Для упрощения записи F (р) используем дифференциальный оператор D = dldt. Скалярный множитель обратной связи обозначим к = v/(l — с) — = v/s, то есть он представляет собой отношение силы действия акселератора к предельной склонности к сбережению. Следовательно, к > 0, и значения к могут быть достаточно большими.

При анализе непрерывных запаздываний единицу времени можно» выбрать так, чтобы х = 1, то есть временная постоянная запаздывания У=1/х = 1. За единицу времени берется запаздывание акселератора. Точна так же при анализе фиксированного временного отставания принимается Случай Соотношение значений Вход Обратная связь F(V) I. Запаздываний нет II. Одинарное запаздывание показательного вида III.

Два равных запаздывания . показательного вида . . . IV.

Фиксированное временное отставание Y = kDY

Y = A * DY

D+x

Y — kDY (t—Ь) hp

k %P J3+X

ьґ 2* Y 4p+2xJ *

kpe-i® 0 = 1, так что за единицу времени берется фиксированное отставание акселератора.

Случай /. Запаздываний нет. Свободная вариация (р — а + ш) задается F(p) = kp== 1, то есть p = i/k. Следовательно49,

1 S

а = ~г — — и со = 0.

к v

Свободная вариация системы не будет колебательным движением, она характеризуется монотонным движением eat, где a = (s/y)> 0. Как и в модели Харрода —Домара, изменение системы монотонное и взрывное.

Случай //. Одинарное запаздывание показательного вида (х = 1). Свободная вариация системы задается следующим образом:

= то есть P = ^ri.

Следовательно,

1 JZ

Свободная вариация системы вновь будет представлена неколебательным движением вида eat, где a = 1/(А;— 1). Обычно это движение будет взрывным [k = (v/s)> 1, a>0], но при очень ^слабом акселераторе (v мало) оно может быть и затухающим:

(fc=f <1, а<0) .

Случай III. Два равных запаздывания показательного вида [(х = 1), Свободная вариация системы задана

F(p) = k[p/(1/*p+ 1)2=1,

то есть

i.p2-(fc-l)p + l = 0,

откуда

p = 2(fc-l)±2Vfc(fc-2).

^

При k = (v/s)> 2, а это можно считать обычным случаем, оба значения р вещественны и положительны. Для обоих видов свободной вариации системы снова имеем со = 0 и a > 0. Обе вариации будут монотонными и взрывными. Весьма возможно, что k = v/s <2. В этом случае значения р будут комплексно сопряженными, то есть = гДв

а = 2 (/с — 1) и со = 2|//с (2 —к).

Свободная вариация будет колебательным движением с частотой со (период 2я/со). При 1 < к = (v/s) < 2 колебание будет взрывным, при к = у/5 < 1 — затухающим.

Введение двойного запаздывания делает возможной свободную колебательную вариацию, которая может быть как взрывного, так и затухающего типа. Как было показано в разделе 4.8, в действительности запаздывания, как правило, не будут иметь простой формы показательной функции. Двойное запаздывание более реалистично и может быть еще лучшим приближением к фактическому распределению / (t), чем два последовательных запаздывания. Тройпые запаздывания и запаздывания более высокого порядка можно исследовать аналогичном образом (см. упражнения 1 и 2), и их введение в систему делает более вероятным колебательный характер свободной вариации системы мультипликатора-акселератора (хотя оно может иметь и взрывной характер).

Случай IV. Фиксированное временное отставание (0 = 1). Уравнение относительно р, характеризующее свободную вариацию системы F (р) — 1, будет теперь более сложным:

кре-р = 1. (1)

Положим р = а-\-т, g—гш __ cos со —-і sin со и приравняем вещественную и мнимую части уравнения (1):

1

(a cos со + со sin со) е~а = у и а sin со — со cos со = 0. (2)

Из второго уравнения системы (2) определяем a = co/tgco и подставляем в первое уравнение:

СО

Ч-г^)-

tgco

Значит, со выражается через к и а —через со, а затем и через А — при помощи следующих двух соотношений:

СО , 1 sin СО it со /оч

Ц In = In к и а = т— . (3)

tgco 1 со tgco v 7

Заметим, что со = 0 является возможным решением, так что второе уравнение системы (2) будет автоматически удовлетворено, а из первого получим кые~~сс= 1. Это выражение представляет собой уравнение (1) после.подстановки вещественного корня р = а. Поэтому сначала ищется вещественное решение уравнения (1) (неколебательная свободная вариация), а затем находятся значения а и со, удовлетворяющие (3), которые характеризуют колебательное свободное движение.

Решение находится графическим методом — точно так же, как это было сделано для модели Калецкого в разделе 7.5. Решение такого типа показано и в работе Тастина [14]. Для меньших значений к = (v/s) < 2,7 не существует вещественных корней уравнения (1). Основное решение будет представлять собой низкочастотное колебание (0 < со < я), которое в зависимости от величины к будет медленно затухающим или взрывным. Период колебания равен (2я/со) > 2, то есть более чем вдвое превышает продолжительность фиксированного временного отставания. Для больших значений к = v/s > 2,7 мы будем иметь два вещественных положительных корня уравнения (1), и основное решение представит собой монотонное взрывное свободное изменение. Такой диапазон возможностей не представляется неожиданным при растущей силе действия акселератора (и меньших склонностях к сбережению). Но в каждом случае к основному решению добавляется и ряд дополнительных, характеризующих колебания возрастающей частоты, то есть вначале ряд значений со в пределах 2я < со < Зя, а затем значений со с интервалами примерно в 2я. По мере увеличения значений к и возрастания частоты, колебательные движения все в большей мере становятся взрывными. Все эти дополнительные колебания [с периодом (2я/со) < 1] происходят в пределах временного интервала отставания акселератора.

Широкий диапазон возрастающих взрывных колебательных движений с высокой частотой и малым периодом характерен для решения экономической модели с одним или более фиксированным отставанием во времени. Теперь очевидно, что решения, включающие высокочастотные колебания, в значительной мере являются фиктивными — они возникают из-за введения жесткой и нереальной предпосылки о наличии фиксированного временного отставания. Как только вводится распределенное запаздывание (или оно аппроксимируется несколькими последовательными запаздываниями показательного типа), основная свободная вариация (монотонная или колебательная, затухающая или взрывная) остается, а побочные «обертона», то есть высокочастотные колебания, исчезают.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что для рассмотренной в тексте модели акселератора при введении тройного запаздывания показательного типа с общей временной константой Г = получается передаточная функция F {р) — к [р/(1/3/?-)-1)3]. Далее показать, что свободная вариация системы описывается кубическим уравнением относительно р и что не может быть более одного свободного колебательного движения. 2.

Обобщить результат предыдущего упражнения на случай множественного в форме показательной функции запаздывания произвольного порядка. Доказать, что при последовательном введении четырех- или более кратного запаздывания показательного вида могут возникнуть и другие свободные колебательные движения.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 8.5. СВОБОДНЫЕ ВАРИАЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ:

  1. 10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА
  2. ГЛАВА 8 ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ. УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ С ЗАМКНУТОЙ ЦЕПЬЮ
  3. 13.2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ
  4. 8.6. ИНЖЕНЕРНЫЙ ПОДХОД. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
  5. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  6. 13.1. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
  7. 2. Условия «F»: .франко-перевозчик (FCA — free carrier); .свободно вдоль борта (FAS — free alongside ship); .свободно на борту (FOB — free on board).
  8. М. Н.Грецкий: незамкнутые цепочки и замкнутые циклы
  9. 4.4.2. Повышение эффективности водопотребления в гидролизном производстве с замкнутым циклом водопользования
  10. 2.6. Анализ вариации зависимой переменной в регрессии. Коэффициент детерминации R2 Анализ вариации зависимой переменной в регрессии
  11. ТЕМА И ВАРИАЦИИ.
  12. ВАРИАЦИЯ СЕДЬМАЯ (ПРЕЛЮДИЯ И ФУГА)
  13. 13.5.2 Вариации функционализма
  14. ВАРИАЦИЯ ПЕРВАЯ (СТРУКТУРНО-ИСТОРИЧЕСКАЯ)
  15. ВАРИАЦИЯ ЧЕТВЕРТАЯ («QUASI-СОФИОЛОГИЧЕСКАЯ»)
  16. НОВЫЕ ВАРИАЦИИ НА СТАРЫЕ ТЕМЫ
  17. ВАРИАЦИЯ ТРЕТЬЯ (ДЕКОНСТРУКТИВНО-БИОГРАФИЧЕСКАЯ)
  18. 3.4. Анализ вариации зависимой переменной в регрессии. Коэффициенты R2 и скорректированный